1. 三点函数值图形
三角函数的周期T=2π/ω。完成一次振动所需要的时间，称为振动的周期。若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。
1三角函数的周期通式的表达式
正弦三角函数的通式：y=Asin(wx+t）；余弦三角函数的通式：y=Acos(wx+t）；
正切三角函数的通式：y=Atan(wx+t);余切三角函数的通式：y=Actg(wx+t)。
在w>0的条件下：A:表示三角函数的振幅；三角函数的周期T=2π/ω；三角函数的频率f=1/T:
wx+t表示三角函数的相位；t表示三角函数的初相位。
2. 三点函数值图形怎么求
我们只讨论一元一次，二元一次，三元一次函数的情况。
一元一次，二元一次函数所对应的几何图形是都是一条直线，三元一次函数对应的是一个平面。
下面我们求直线，平面的方程。
（1）：在任意一条直线上选取两个不同的点，设这两个点的坐标分别为A（x，y），B（x＇，y＇）。
①当一条直线的斜率不存在时，直线与x轴垂直，设直线与X轴的交点为（m，0），此时x＝x＇＝m，直线对应的方程为x＝m，它是一个一元一次函数。
②设一条直线通过A、B两点，可以求出这条直线的斜率，设此斜率为k，则：
k＝（y＇－y）／（x＇－x），此直线的方程为：
y＝kx＋b（k为上面所求，b为直线在y轴上的截距），当k＝0时，y＝b，这是一个一元一次函数；当k≠0时，y＝kx＋b是一个二元一次函数。
（2）：在任意平面上取三个不共线的的点，分别为A（x，y，z），B（x＇，y＇，z＇），C（x＂，y＂，z＂），这三点可以确定一个平面，设对应的平面方程为ax＋by＋cz＝m，把A、B、C三点代入这个方程，得三个三元一次方程组，解这个方程组，可求出a，b，c，m。从而可求出这个平面方程的具体形式。
n元一次方程（n＞3）的求法跟三元一次方程的求法一样。只是我们只知方程的形式，却不能想像出n维线性空间的具体图像，它已经超过了人类的想像力。
3. 三点式求二次函数解析式技巧
基本的方法是把这三个点的坐标代入y=ax²+bx+c得到一个关于a、b、c的三元一次方程组,解得a、b、c的值代回得到这个二次函数解析式如果给的三个点中有两个点(x1,0)、(x2,0)与x轴的交点,则把第三个点坐标代入y=a(x-x1)(x-x2)解得a,代回得到这个二次函数解析式若给是两个点,则其中有一个的顶点(k,h),则把另一个点坐标代入y=a(x-k)²+h解得a,代回得到这个二次函数解析式
4. 利用三点式求二次函数的表达式
第一步，我们所学到的式子为形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，
1此函数公式一般用于初学者求公式题目。题型易懂
2注意，此函数需要3个点 （注意：不能是对称的X轴上的点）
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第二步，我们学到了顶点式，这个非常重要y=a(x-h)^2+k;交点式--------
y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
二次函数解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：
当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到；
当h<0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到；
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象
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接下来是交点式，也是重点，，，，-----
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤：
二次函数(16张)
∵x1+x2=-b/a， x1·x2=c/a(由韦达定理得),
∴y=ax²+bx+c
=a(x²+b/ax+c/a)
=a[x²-(x1+x2)x+x1·x2]=a(x-x1)(x-x2).
重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
其他知识介绍：牛顿插值公式
f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
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还有一些不常用的，供大家参考
双根式
y=a(x-x1)*(x-x2)
若ax²+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。
三点式
已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）
则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)[3]
与X轴交点的情况
当△=b²-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(X1,0), (X2,0).
当△=b²-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。
Δ=b²-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b²－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
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方程关系
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特别地，二次函数（以下称函数）
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
二次函数y=ax2(0，0) x=0
再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)2+k（h<0,k>0）的图象
当h<0,k<0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)2+k（h<0,k<0）的图象
在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。
因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。
2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。
3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。
4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x1-x2| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。
5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a。
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
(a≠0)
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
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函数图像
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基本图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。
轴对称
二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
a,b同号，对称轴在y轴左侧
a,b异号，对称轴在y轴右侧
顶点
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
开口
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
决定位置的因素
二次函数一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定交点的因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于（0,C）
注意：顶点坐标为（-h,k)， 与y轴交于（0,C)。
与x轴交点个数
a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
质疑点：a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。
当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k
当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k
当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数
图像要点
对称关系
对于一般式：
①y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称
②y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称
③y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称[2]
④y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。
对于顶点式：
①y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称，即顶点（h,k）和（－h,k）关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。
②y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称，即顶点（h,k）和（h,－k）关于y轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。
③y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称，即顶点（h,k）和（h,k）相同，开口方向相反。
④y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称，即顶点（h,k）和（－h,－k）关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。
（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）
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学习方法
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知识要点
1.要理解函数的意义。
二次函数
2.要记住函数的几个表达形式，注意区分。
3.一般式，顶点式，交点式，等，区分对称轴，顶点，图像，y随着x的增大而减小（增大）等的差异性。
4.联系实际对函数图像的理解。
5.计算时，看图像时切记取值范围。
6.随图像理解数字的变化而变化。 二次函数考点及例题
二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。
误区提醒
（1）对二次函数概念理解有误，漏掉二次项系数不为0这一限制条件；
（2）对二次函数图象和性质存在思维误区；
（3）忽略二次函数自变量取值范围；
（4）平移抛物线时，弄反方向
定义表达
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
表达方式
一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=-b/2ak=(4ac-b²)/4ax？，x?=(-b±√b²-4ac)/2a
性质相关
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a有1个交点。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b²-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b²－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
5. 三点式求导公式
答案：y' = 3ax^2 + 2bx + c y'' = 6ax + 2b y''' = 6a y''' = 0 以下导数皆为0。函数的定义：给定一个数集A，一样的 和2次差不多 求导之后变成 -3/5x^2+2400 也就是将次方减1 之后 将原来次方数乘以前面的常数 ，三次函数f(x)的单调性是由其导函数f'(x)的正负来判定的，即当f'(x)<0,三次函数f(x)在其定义域内为减函数，f'(x)>0则f（x）为增函数。
6. 三点相关函数
一个二次函数的图像经过三个已知点，用待定系数法即可求出真解析式。
7. 三点函数值图形怎么画
（一）、三角函数的图像和性质
y=sinxgdsgs
函数：y=sinx；
定义域：R；
值域：［-1，1］x=2kπ+π/2 时ymax=1，x=2kπ-π/2 时ymin=-1；
周期性：2π；
奇偶性：奇函数；
单调性：
在［2kπ-π/2,2kπ+π/2 ］上都是增函数；
在［2kπ+π/2 ,2kπ+2π/3］上都是减函数(k∈Z)；
y=cosx
函数：y=cosx；
定义域：R；
值域：［-1，1］x=2kπ时ymax=1，x=2kπ+π时ymin=-1；
周期性：2π；
奇偶性：偶函数；
单调性：
在［2kπ-π,2kπ ］上都是增函数；
在［2kπ ,2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)；
y=tanx
函数：y=tanx；
定义域：｛x｜x∈R且x≠kπ+π/2,k∈Z｝；
值域：无最大值、无最小值；
周期性：π；
奇偶性：奇函数；
单调性：在［kπ-π/2,kπ+π/2 ］上都是增函数(k∈Z)；
y=cotx
函数：y=cotx；
定义域：｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝；
值域：无最大值、无最小值；
周期性：π；
奇偶性：奇函数；
单调性：在［kπ,kπ+π ］上都是减函数(k∈Z)；
二、三角形各元素之间的关系
（一）、锐角三角函数
直角三角形
在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对∠BAC而言，对边（opposite）a=BC、斜边（hypotenuse）c=AB、邻边（adjacent）b=AC，则存在以下关系：
如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a^2＋b^2＝c^2。（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
锐角三角函数关系
（二）、任意角三角函数
任意角
任意角三角函数关系
三、三角函数公式
（一）、同角三角函数的基本关系式
如右图，六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：
三角函数速记方法
1）倒数关系——对角相乘乘积为1。
sinθ·cscθ=1；
cosθ·secθ=1；
tanθ·cotθ=1；
2）商数关系——六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积。
sinθ=cosθ·tanθ；
tanθ=sinθ·secθ；
3）平方关系——阴影部分的三角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值。
sinθ^2+cosθ^2=1^2;
tanθ^2+1^2=secθ^2;
1^2+cotθ^2=cscθ^2；
（二）、诱导公式
口诀：奇变偶不变，符号看象限
公式一：设α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin(2k +a)=sina,k Z
cos(2k +a)=cosa,k Z
tan(k +a)=tana,k Z
cot(k +a)=cota,k Z
公式二：设 α 为任意角， π+ α与 α的三角函数值之间的关系：
sin( +a)=-sina
cos( +a)=-cosa
tan( +a)=tana
cot( +a)=cota
公式三：任意角 -α与α 的三角函数值之间的关系：
sin(-a)=-sina
cos(-a)=cosa
tan(-a)=-tana
cot(-a)=-cota
公式四： π-α与α 的三角函数值之间的关系：
sin( -a)=sina
cos( -a)=-cosa
tan( -a)=-tana
cot( -a)=-cota
公式五：2π-α与 α 的三角函数值之间的关系：
sin(2 -a)=-sina
cos(2 -a)=cosa
tan(2 -a)=-tana
cot(2 -a)=-cota
公式六： π/2+/-α及3π/2+/-α 与 的三角函数值之间的关系：
sin( +a)=cosa
cos( +a)=-sina
tan( +a)=-cota
cot( +a)=-tana
sin( -a)=cosa
cos( -a)=sina
tan( -a)=cota
cot( -a)=tana
sin( +a)=-cosa
cos( +a)=sina
tan( +a)=-cota
cot( +a)=-tana
sin( -a)=-cosa
cos( -a)=-sin
tan( -a)=cot
cot( -a)=tan
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