excel中的gama函数(gamma函数)

1. gamma函数

伽玛函数（外文名：Gamma Function），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。

该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分，可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

2. gamma函数图像

当两随机变量服从Gamma分布，且单位时间内频率相同时，Gamma

数学表达式

若随机变量X具有概率密度

其中α>0,β>0,则称随机变量X服从参数α，β的伽马分布，记作G(α,β).

性质：

1、β=n，Γ(n,α)就是Erlang分布。Erlang分布常用于可靠性理论和排队论中 ,如一个复杂系统中从第 1 次故障到恰好再出现 n 次故障所需的时间;从某一艘船到达港口直到恰好有 n 只船到达所需的时间都服从 Erlang分布；

2、当α= 1 , β = 1/λ 时，Γ(1,1/λ) 就是参数为λ的指数分布,记为exp (λ) ；

3、当α =n/2 ，β=1/2时，Γ (n/2,1/2)就是数理统计中常用的χ2( n) 分布。

4、数学期望(均值)、方差分别为

对于Γ(a ,β )，E( X) =a/β，D ( X) =α / (β*β)

5、(Gamma 分布的可加性)：设随机变量 X1 , X2 , …, Xn 相互独立，并且都服从Gamma 分布，即Xi ～Γ(αi , β)，i =1 ,2 , …, n , 则：

X1 + X2 + …+ Xn ～ Γ(α1 +α2 + …+αn ,β )。

3. gamma函数和beta函数的关系

WinBugs中没有直接生成逆伽马分布的函数，需要利用伽马分布和逆伽马分布的关系，若X~Gamma(alpha,beta)，则1/X~InverseGamma(alpha,beta)。t~IG(0.001,1000)转换成代码：#tt~dgamma(1.0E-3,1.0E3)t<-1/tt#

4. gamma函数计算公式

Γ(x)称为伽马函数，它是用一个积分式定义的，不是初等函数。伽马函数有性质：Γ(x+1)=xΓ(x)，Γ(0)=1，Γ(1/2)=√π，对正整数n，有Γ(n+1)=n！ 11

表达式：

Γ(a)=∫{0积到无穷大}

[x^(a-1)]*[e^(-x)]dx

在Matlab中的应用

其表示N在N-1到0范围内的整数阶乘。

公式为：gamma(N)=(N-1)*(N-2)*...*2*1

例如：

gamma(6)=5*4*3*2*1

ans=120

5. gamma函数积分

伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

6. gamma函数的导数

Γ（s)=∫（上限，正无穷；下限，0）exp（-x)*x^(s-1)dx(s>0)

由于s-1<0时，x=0是被积函数的瑕点，故令A1=∫(1，0)exp（-x）*x^(s-1)dx A2=∫(inf，1）e(-x)*x^(s-1)dx

s>=1时，A1是定积分；0<s<1时，e（-x)*x^(s-1)=1/[x^(1-s)*e(-x)]<1/x^(1-s)

由比较审敛法：函数f（x）在区间（a，b]上连续，且f（x）>=0，x=a 为f（x）的瑕点，如果存在常数M>0,及q<1，使f（x)<=M*(x-a)^(-q) (a<x<=b),则反常积分收敛。知A1收敛。

limx^2*[e(-x)x^(s-1)]=limx^(s+1)/e(x)=0(x→inf,洛必达法则，即上下函数求导，只要有定义可进行无限次）

有审敛法：函数在区间[a，inf）上连续，且f（x）>=0，如果存在常数p>1,使得lim(x^p)*f(x)(x→inf）存在，则反常积分收敛。

故gamma函数收敛。

7. gamma函数的性质

伽玛函数表达式：Γ(x)=∫e^(-t)*t^(x-1)dt (积分的下限是0,上限是+∞)

　利用分部积分法可以得到　　Γ(x)=（x-1)*Γ(x-1) ,而容易计算得出Γ(1)=1,　　由此可得,在正整数范围有：Γ(n+1)=n!

Γ（n+1）=Γ（n）=n

8. gamma函数的值

值关系的斜线。（有时也用于描述屏幕的反差） Gamma可能源于CRT（显示器/电视机）的响应曲线，即其亮度与输入电压的非线性关系。

归一化后，我们通常可以用一简单的函数来表示：

output = input ^ gamma

gamma就是指数函数中的幂。

什么是伽玛值(Gamma)？

伽玛值指印刷技术或图象处理上，输入值和显示器输出时的亮度之间的关系，其影响原稿上高光到暗调之间色调的分布。没有彩色管理，用户可调整显示器的伽玛值，以模拟在比较显示器上与原稿上的图像的反差时的观视条件。在使用彩色匹配软件时，系统特地指定了显示器的伽玛值。

伽玛值影响图形中间值的色调或中间层次的灰度。通过调整伽玛值可以改变图像中间色调灰阶的亮度值，以增加图像的中间层次，而不会对暗部和亮部的层次有太大的影响。输入一个比一大的数，将扩大中间色调的范围，这样做能使中间色调占很大比例的图像产生较小的对比度和较多的细节。

■怎样调整伽玛值？

伽玛值是指处理位图的一种特殊效果的调整，检查照片的亮度也十分重要，通过与原照片比较，看照片是否太暗或太亮，太暗或太亮都无法得到理想的照片。将太暗的照片变亮，调整伽玛值无疑是简便的方法，但这样做会使照片失去信息。

扫描时要调整伽玛值，伽玛值影响图形中间值的色调或中间层次的灰度。通过调整伽玛值可以改变图像中间色调灰阶的亮度值，以增加图像的中间层次，而不会对暗部和亮部的层次有太大的影响。输入一个比一大的数，将扩大中间色调的范围，这样做能使中间色调占很大比例的图像产生较小的对比度和较多的细节。输入一个比一小的数，将会缩小中间色调的范围，这样做会增大图像的对比度，图像的细节会减少。当曲线向下移动时，图像的相应像素变暗；向上移动时，相应像素变亮。它的调整往往需要与亮度、对比度共同配合使用才能达到满意的结果。显示器内没有听说过有何补偿，即使有，它们也对外呈现一定的gamma值。主要的补偿发生在显卡及其驱动程序类。如果显卡硬件不支持，则由驱动程序软件完成。在Windows中，上层通过调用驱动程序的一个接口函数（DrvIcmSetDeviceGammaRamp）向其传递Gamma校正表（LUT），这个表的大小是3*256项（每项16字节），对应于RGB三个通道，每个通道256级。

9. gamma函数的分布函数

Gamma分布密度函数

f ( x ; α , β ) = β α x α − 1 Γ ( α ) exp ⁡ { − β x } f(x;\alpha, \beta) = \frac{\beta^{\alpha}x^{\alpha-1}}{\Gamma({\alpha})}\exp\{-\beta x\}f(x;α,β)=Γ(α)βαxα−1exp{−βx}

均值和方差

E ( x ) = α β E(x) = \frac{\alpha}{\beta}E(x)=βα

D ( x ) = α β 2 D(x) = \frac{\alpha}{\beta^2}D(x)=β2α