有界函数

有界函数的定义和性质

有界函数是数学中一种非常重要的概念。在讨论有界函数前，我们首先回顾一下函数的定义：函数是一种对应关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。而有界函数则是指在特定区间内，函数的值不会无限增长或无限减小。

具体来说，设f(x)是定义在区间[a, b]上的函数。如果存在一个正数M，使得对于[a, b]上的任意x，有|f(x)|≤M，那么我们称f(x)是有界函数。其中，|f(x)|表示函数f(x)的绝对值。

有界函数有一些重要的性质：

性质一：有界函数的乘积仍然是有界函数

设f(x)和g(x)分别是定义在区间[a, b]上的有界函数，记M1和M2分别为f(x)和g(x)的界。则它们的乘积h(x)=f(x)·g(x)也是有界函数。我们可以证明，存在正数M，对于[a, b]上任意x，有|h(x)|≤M。

证明过程如下：

1. 由于f(x)和g(x)都是有界函数，所以对于[a, b]上任意x，有|f(x)|≤M1、|g(x)|≤M2。
2. 因此，对于[a, b]上任意x，有|h(x)|=|f(x)·g(x)|=|f(x)|·|g(x)|≤M1·M2。
3. 取M=M1·M2，即证得|h(x)|≤M。因此，h(x)=f(x)·g(x)是有界函数。

这个性质告诉我们，有界函数的乘积仍然是有界函数。

性质二：有界函数与常数的乘积仍然是有界函数

设f(x)是定义在区间[a, b]上的有界函数，记M为f(x)的界。对于任意实数c，函数g(x)=c·f(x)也是有界函数。我们可以证明，存在正数M'，对于[a, b]上任意x，有|g(x)|≤M'。

证明过程如下：

1. 由于f(x)是有界函数，所以对于[a, b]上任意x，有|f(x)|≤M。
2. 因此，对于[a, b]上任意x，有|g(x)|=|c·f(x)|=|c|·|f(x)|≤|c|·M。
3. 取M'=|c|·M，即证得|g(x)|≤M'。因此，g(x)=c·f(x)是有界函数。

这个性质告诉我们，有界函数与常数的乘积仍然是有界函数。

性质三：有界函数的和仍然是有界函数

设f(x)和g(x)分别是定义在区间[a, b]上的有界函数，记M1和M2分别为f(x)和g(x)的界。则它们的和函数h(x)=f(x)+g(x)也是有界函数。我们可以证明，存在正数M，对于[a, b]上任意x，有|h(x)|≤M。

证明过程如下：

1. 由于f(x)和g(x)都是有界函数，所以对于[a, b]上任意x，有|f(x)|≤M1、|g(x)|≤M2。
2. 因此，对于[a, b]上任意x，有|h(x)|=|f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|≤M1+M2。
3. 取M=M1+M2，即证得|h(x)|≤M。因此，h(x)=f(x)+g(x)是有界函数。

这个性质告诉我们，有界函数的和仍然是有界函数。